Das aktuelle Rätselfür Februar 2012 Sei f(x) eine lineare Funktion mit f(6)-f(2) = 12. Berechnen sie f(12) – f(2)? |
| die aktuelle Aufgabe | bisherige Aufgaben | NEU: schwierige Aufgaben |
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Olaf Fritsche / Richard Mischak / Thorsten Krome rororo Taschenbuch |
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| Jänner 2012 |
Es sei ♠(x) die Ziffernsumme der Zahl x, also ♠(8) = 8 und ♠(123) = 1+2+3=6. Für wie viele zweistellige Zahlen ist ♠(♠(x)) = 3 ? |
| Dezember 2011 |
Auch heuer gibt es wieder den mathematischen Adventkalender! |
| November 2011 |
Auf einer Tafel stehen alle Zahlen von 1 bis 2011. |
| Oktober 2011 |
Gegeben ist folgende Figur mit den Eckenkoordinaten: |
| September 2011 |
Wie viele "räumliche" Dominos (Paare benachbarter "Felder", also benachbarter Einheitswürfel) gibt es in einem n*n*n Würfel? 
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| August 2011 |
Wie groß ist die Oberfläche der volumsgrößten Doppelpyramide, die einem Würfel mit der Seitenlänge a eingeschrieben werden kann?
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| Juli 2011 |
Gegeben ist ein Schachbrett. Der König steht allen auf a1 und will mit möglichst wenigen Zügen, die ihn nur ein Feld weiter nach rechts oder ein Feld weiter nach oben führen, auf das Feld h8. Es sind also keine Diagonalzüge erlaubt. Welcher Prozentsatz aller solcher Wege dorthin führen den König über das Feld d8 auf sein Ziel?
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| Juni 2011 |
In ein kegelförmiges 1/4 l Sektglas mit der Gesamthöhe 18 cm und der Fußhöhe 6 cm wird ein Stamperl mit 1/32 l gefüllt. Wie hoch steht die Flüssigkeit im Sektglas?
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| Mai 2011 |
Welche Zahl stellt dieser Bruch dar?
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| April 2011 |
Welche Zahlen zwischen 90 und 100 (einschließlich) lassen sich nicht als Summe aus Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks mit ganzzahligen Seitenlängen darstellen?
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| März 2011 |
Die Zahl 102010-2010 hat viele Ziffern.
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| Februar 2011 |
Im Rechteck ABCD mit dem Seitenverhältnis AB:AD=1:2 sind M und L Seitenmittelpunkte.
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Herbst 2011 |
Drei Kreise mit dem Radius 1cm sind entlang des Durchmessers AB eines Halbkreises mit dem Radius 2cm gezeichnet. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2011 |
Gesucht ist der geometrische Ort aller Punkte von dem jeweils zwei Tangenten zu den (klassischen) Kegelschnitten möglich sind, doch diese in P einen rechten Winkel bilden: a) Ellipse (x2/a2 + y2/b2 = 1) Eine möglichst geschlossene Darstellung ist gesucht. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2011 |
Ebene Geometrie: In einem Feld ist ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge ‚x’ abgesteckt. Um dieses Beet ist ein Zaun errichtet – mit der Eigenschaft, dass von jedem Punkt des Zaunes, dieses Beet genau unter einem Winkel von 45° erscheint. Welche Gestalt hat der Zaun? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2010 |
Gegeben sind 10 Punkte in gleichem Abstand auf einer Geraden. Darüber sind alle möglichen Halbkreise errichtet, deren Durchmesser jeweils 2 der 10 Punkte verbindet.
Wieviele Schnittpunkte haben diese Halbkreise? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2010 |
‚Schifferl’ versenken – ein wenig anders ! Wir spielen auf einem 2n*2n Brett und müssen jedes Feld einschwärzen und benutzen eine neue Technik. Diese ‚Farbspritztechnik’ ist leider noch sehr unzuverlässig ! Beim Versuch ein Feld zu färben (blaues Feld) schwärzen wir leider genau nur die vier umliegenden Felder, jedoch nicht das Feld was wir ursprünglich wollten; oder graphisch dargestellt:
Wieviele ‚Farbspritzer’ sind notwendig (in Abhängigkeit von n) um aller Felder zu schwärzen? Gesucht ist natürlich der minimalen Aufwand? Bitte geben Sie eine Lösungsvariante der Spritztechnik für ein 10*10 Brett an ! Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2010 |
Gegeben ist ein hohler Würfel mit der Seitenlänge a. Eine Raumdiagonale ist ebenfalls eingezeichnet. Wie groß ist der Radius einer Kugel die alle drei Seitenflächen des Würfels und die Raumdiagonale berührt? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2010 |
Gegeben sind die Längen a und b mit a>b. a) In dieser Anordnung formen die beiden Strecken mit d ein Dreieck! Durch Rotation des Dreiecks um die Seite d entsteht ein Körper mit Volumen V(a,b,d) Wann ist V(a,b,d) ein Maximum ? b) In dieser Anordnung formen die beiden Strecken mit d ein Parallelogramm!
Wann ist W(a,b,d) ein Maximum ? Nachweis für Maximum ! Berechnen Sie die Maximalvolumina V(4,3,x) und W(4,3,y)! Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2009 |
Gegeben sind n rote und n blaue Punkte in der Ebene. Zeige, daß man jeweils eine (gerade) Strecke von jedem roten zu einem Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2009 |
Gegeben sei ein Kreisausschnitt mit Radius R und Winkel α. Berechne den kleinsten Kreis mit Radius r = f(R, α) der diesen Kreisausschnitt völlig bedeckt?
Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2009 |
Gegeben sind zwei einander berührende Kreise mit den Radien r und r+a. Die gemeinsame Tangente t schneidet die Koordinatenachsen in welchen Punkten ?
Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2009 |
Wir alle kennen die Aufgabe mit der Wahrscheinlichkeit, daß zwei Personen in einer Gruppe den gleichen Geburtstag haben. Die heutige Aufgabe möchte wissen, wie groß die Gruppe sein muß, damit bei einer Wahrscheinlichkeit von =1/2 ich eine zweite Person finde, deren Geburtstag mit meinem (!) zusammenfällt ! Irgendein Zusammenhang zwischen beiden Aufgaben – wenn ja, welcher? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2008 |
Ein auf allen Seiten mit Bilder beklebter (großer) Würfel ist aus 2*2*2 Einheits-Würfel zusammengestellt. Jede Position eines Einheitswürfels ist vorgegeben ! Gefragt ist die Anzahl der (zeitlich) unterschiedlichen Reihenfolgen in der man die Elementarwürfel zum großen Würfel zusammensetzen kann? Sind die Bezeichnung der Elementarwürfel unten 1,2,3,4 und oben 5,6,7,8 - welche Reihenfolgen sind dann möglich - und wieviel unterschiedliche gibt es? (z.B. 1,2,3,5, geht ---- aber 1,2,7,3 geht nicht - da der '3er'Würfel unten fehlt ? 1,5,2,6 geht ..... aber alle 5,x.... und 6,x..... sind ebenfalls unmöglich!) Zusatz: wie könnte die Lösung für einen 3*3*3 Würfel aussehen? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2008 |
Wir kennen alle das folgende Bild, sechs Kreise mit dem Radius r umgeben einen Kreis im Zentrum mit dem Radius r.
Wir modifizieren die Aufgabe etwas, wir fügen einen weiteren Kreis mit Radius r ein; Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2008 |
Um 1985 entdeckten Chemiker die Fullerene, das ist Kohlenstoff der in festem Zustand auch in Form von käfigartigen Molekülen vorliegen kann. Das ‚Buckybaby’ C28 werden wir nun konstruieren: Gegeben ist der Tetraeder ABCD mit der Seitenlänge S. Wir zeichnen nun auf jeder Tetraederseitenfläche um seinen Schwerpunkt M ein regelmäßiges, kleines Sechseck mit der Seitenlänge ‚s’ derart, dass die Ecken auf den Seitenhöhen zu liegen kommen. Wir ergänzen diese Figur durch insgesamt 12 Fünfecke (wie eingezeichnet). Vier Punkte eines jeden Fünfecks sind ja gegeben. Der fünfte Punkt von drei Fünfecken liegt dann jeweils auf der Tetraederhöhe.
Wie groß muß die Seitenkante ‚s' gewählt werden, damit auch die Kante XY die Länge ‚s' hat? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2008 |
Gegeben ist folgende Figur. Berechnen Sie den Umfang des Rechteckes für beide Beispiele, wenn die Radien der Kreise sind: Beispiel a: r1= 1cm, r2= 2cm, r3= 3cm Beispiel b: r1= 2cm, r2= 3cm, r3= 4cm
Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2007 |
Sie füllen die Elemente einer m*n Matrix mit +1/-1 derart, daß das Produkt aller Elemente jeder Spalte und das Produkt aller Elemente jeder Zeile genau –1 ist. Wieviele unterschiedliche Matrizen mit dieser Eigenschaft gibt es ? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2007 |
Bilden Sie alle Polynome mit Koeffizienten aus der Menge (0,1,2,3) und f(2) = 2 Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2007 |
Random-walk in drei Dimensionen. Ein Teilchen, startet im Ursprung eines 3-dimensionalen Raumes. Wir bilden um den Ursprung einen Würfel der Seitenlänge 2h derart, daß der Ursprung im Zentrum des Würfels liegt. Das Teilchen bewegt sich nun in einem Zickzackkurs rein zufällig mit der Schrittweite h und jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit in Richtung einer der Seitenmitten der sechs Würfelflächen. Falls diese zufälligen Teilchenbewegungen sich beliebig lange fortsezten - wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Teilchen im Laufe der Zeit wieder an den Ursprung zurückkehrt? Was passiert, wenn die zufällige Bewegung nicht in Richtung der Seitenmitten, sondern in Richtung der acht Würfelecken erfolgt? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2007 |
Wir haben einen Kartenstapel mit den Zahlen von 1 - 2007. Wir legen die oberste Karte dieses Stapels auf den Tisch, und die nächste wird dem Stapel ganz unten hinzugefügt. Die (neue) oberste Karte wird wieder auf den Tisch gelegt, rechts neben der ersten, und die nächste wieder unten hinzugefügt. Dies wird solange gemacht bis alle Karten auf dem Tisch liegen. Wir finden nun zu unserer Überraschung, dass die Karten auf dem Tisch in der Reihenfolge von 1-2007 liegen (von links nach rechts). Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2006 |
Gegeben sind 27 quaderförmige Steine mit den Abmessungen 2*1*0,5 (allgemein
a*b*c). Ist das möglich und wenn ja - geben Sie eine dieser Lagen explizit an. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2006 |
Aus mehreren kleinen, gleichgrossen Elementarwürfeln (1*1*1) können entweder zwei Quadrate oder ein grosser Würfel zusammengelegt werden. Die Kantenlänge des Würfels ist gleich der Differenz der Seitenlängen der Quadrate. Welches ist die minimale Anzahl an Elementarwürfel, die man dazu benötigt? Wie lautet die allgemeine Lösung? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2006 |
Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 2r. Berechnen Sie den größtmöglichen Kugelradius dieser kleinen Kugeln, wenn
passen sollen. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2006 |
In einem Sekretariat treffen die zu schreibenden Briefe während des Tages ein, und werden immer auf (!) den Stapel der noch nicht erledigten Briefe gelegt. Wenn die Sekretärin Zeit hat, so nimmt Sie den obersten Brief und schreibt ihn. Insgesamt sind 9 Briefe zu schreiben und der Chef liefert Sie in der Reihenfolge 1,2,3,4,5,6,7,8,9 im Büro ab. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Winter 2005 |
Es seien x1, x2, ... xn ... die Wurzeln des Polynoms Xn + Xn-1 + Xn-2 + ... + X + 1 Beweise, daß 1/(1-x1) + 1/(1-x2) + ... + 1/(1-xn) = n/2 Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Herbst 2005 |
Gegeben ist ein Würfel. Einer Seitenfläche ist der Kreis k1 eingeschrieben, einer benachbarten Seitenfläche ist der Kreis k2 umschrieben. Je ein Punkt bewegt sich auf k1 und k2. Was ist der geringstmögliche Abstand dieser beiden Punkte (d), und was sind die Koordinaten dieser Punkte. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Sommer 2005 |
Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius r. Ein Punkt auf dem Kreisumfang ist Mittelpunkt eines zweiten Kreises mit dem Radius x. Dieser zweite Kreis schneidet aus dem ersten Kreis eine Fläche A aus, die Restfläche des ersten Kreises bezeichnen wir mit B. Wie gross muss x gewählt werden, damit die Fläche A gleich der Fläche B ist. Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Frühling 2005 |
Die Eckpunkte eines Tetraeders mit der Kantenlänge r sind die Mittelpunkte von Kugeln mit dem Radius r. Bestimme das Volumen des entstehenden Schnittkörpers? Richtige Lösungen eingesandt von (in der Reihenfolge des Eintreffens):
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Die rotierenden Körper wurden von Rüdiger Appel übernommen.
Im vorherigen finden sie einige schwierigere Aufgaben, welche vierteljährlich gestellt werden. Senden sie ihren Lösungsvorschlag ebenfalls per email an richard@mischak.com
Lösungen zu diesen Aufgaben können sie während einiger Monate einsenden, leider gibt es dafür noch keine Preise. Die Namen der Einsender korrekter Lösungen werden in der Reihenfolge des Eintreffens hier angeführt.
Solltest du an
weiteren bisher gestellten Aufgaben interessiert sein, so
ersuchen ich um Kontakt.
