Kooperation und Konfrontation in der Natur

Die wirklich interessanten Fortschritte in den Wissenschaften finden heute an den Rändern der Einzeldisziplinen statt. Dort, wo scheinbar Unvereinbares vermischt wird, wo neue, hybride Fächer ohne klare Vorgaben entstehen. Die Mathematik-Forschung hat auf diesen Randgebieten große Fortschritte erzielen können - insbesondere in der Beherrschbarkeit von immer komplexeren Situationen.

Es ist bekannt, daß die Mathematik sich auch anderen naturwissenschaftlichen Disziplinen öffnet. Die Symbiose zwischen Mathematik und Physik ist sehr fruchtbar; ein vergleichbares Verhältnis könnte sich zwischen Biologie und Mathematik anbahnen. Berührungspunkte liegen vor allem in der Evolutionstheorie und der Molekularbiologie. Wir wollen nun eine wenig genauer auf die mathematischen Methoden der Evolutionstheorie eingehen.

Das Auftauchen spontaner Kooperation und Hilfsbereitschaft während der Evolution läßt noch immer viele Fragen unbantwortet. Komplexe, arbeitsteilige Gesellschaften wie Bienenstöcke, Ameisenhaufen, Rudeln und Menschengruppen bilden sich nur durch Aufgabenteilung und Kooperation. Die Frage nach der Intelligenz scheint zunächst zweitrangig zu sein - da Ameisen kaum Einsicht in ihr Tun verfügen. Indem die Ameisen die Versorgung ihrer Königin sichern, tragen sie allerdings zum Fortbestand der eigenen Erbinformation bei!

Doch Kooperation findet auch unter Individuen statt, die nicht direkt miteinander verwandt sind. Einen Erklaerungsansatz lieferte ein großes Computerturnier, zu dem der Politologe Robert Axelrod von der Universität Michigan bereits 1981 aufrief und in dem verschiedene Verhaltens- weisen gegeneinander antraten. Grundlage war eine Population künstlicher Individuen die das wiederholte Gefangenendilemma spielen. Die beiden Partner treffen während des Turniers mit hoher Wahrscheinlichkeit nochmals aufeinander. Im Detail hatten sich an folgende einfache Spielregeln zu halten hatten:

Jedesmal wenn 'A' auf 'B' trifft, entscheiden sich die beiden ob sie kooperieren oder die Kooperation verweigern wollen. Für jede Interaktion wurden Punkte vergeben:

• Verweigern beide, erhalten beide einen Punkt
• Kooperieren beide, erhalten beide drei Punkte
• Kooperiert nur einer, der andere aber nicht, erhält der 'Schmarotzer' fünf Punkte, der 'Helfer' jedoch keinen !

Überraschenderweise setzten sich die 'Schmarotzer' nicht durch. Viele Strategien machten ihre Zusammenarbeit davon abhängig, ob der Partner früher mit Ihnen kooperiert hatte. Der Sieger heißt 'Tit for Tat' (TFT) - dies bedeutet nichts anderes als 'Wie Du mir, so ich Dir'. Beim ersten Zusammentreffen kooperiert der 'Tit for Tat'-Spieler, bei den nächsten Interaktionen tut er jedoch immer das, was der andere voher gemacht hat. Jeder einzelne TFT Spieler hat also niemals mehr Punkte als sein Gegenspieler!

Doch können wir mit mathematische Methoden auch das Verhalten der menschlichen Gesellschaft nachspielen? - Zugegeben eine interessante Frage und ein sicherlich sehr komplexes Spiel? Wenn man dieses Spiel gründlich vereinfacht und sich auf bestimmt Situationen mit kontrollierbaren Bedingungen beschränkt, dann wird dieses Spiel machbar. Spiele haben als Modell für menschliches Handeln der Vorteil, daß sie Vereinfachungen zulassen. Alle Beteiligten haben das gleiche Ziel - sie wollen gewinnen. Jeder ist egoistisch, keiner läßt freiwillig den anderen den Vorzug. Die Regeln und die Anzahl der Spieler sind allen bekannt und dürfen während des Spiels nicht geändert werden. Und dennoch liegt der Ausgang des Spiels nicht fest, weil der Zufall immer mitspielt - doch ist dieser nicht der Hauptgrund!

Wie weit die Spieltheorie das wirkliche Handeln der Menschen modellieren kann, war allerdings immer umstritten. Erklärt die Spieltheorie menschliches Handeln, oder kann sie Ratschläge geben wie wir handeln sollen?

Erst kürzlich stellten Prof. Dr. Karl Sigmund von der Universität Wien und Dr. Nowak von der Universität Oxford ihre mathematischen Fortschritte in der Spieltheorie vor. Sie haben ein völlig neues Modell entwickelt, das zu überraschenden Ergebnissen geführt hat. Prof. Sigmund hat nicht nur den Punktwert, der in der Interaktion erspielt wird und den Fortpflanzungserfolg anzeigt, sondern drüber hinaus einen 'Imagewert' eigeführt. Jeder Akt der Hilfe steigert somit das soziale Ansehen und damit die Bereitschaft des nächsten Partners zur Kooperation. In ihrer einfachsten Form, läßt sich diese Gesellschaft aus Individuen, die auf ihren guten Ruf bedacht sind, sogar analytisch angeben. Details zu diesen hier nur angedeuteten Forschungsergebnissen wurden auf dem Internationalen Kongress der Mathematik in Berlin (1998) der Fachwelt vorgestellt - und man hörte aufmerksam zu!

Mathematische Spiele - spielerische Mathematik

Wo kann man Spiele sehen, die Wissenswertes über die Mathematik vermitteln und einfach zu verstehen sind? Bleiben nur Trivialspiele, bei denen man höchstens Wissensunwertes dazulernt, oder gibt es ein nachdrückiches Nein - zum Beispiel die Jagd auf Zahlen und Figuren!

Noch im 17.Jahrhundert erzeugten 'negative' Zahlen entschiedenen Widerstand bei den meisten Mathematikern. Descarte etwa prangerte negative Wurzeln als 'falsche Wurzel' an und auch Blaise Pascal war noch der Überzeugung, es könne keine Zahl keiner als Null geben! Leibniz, der zwar zugab, daß negative Zahlen zu absurden Schlußfolgerungen führen könnten, verteidigte sie als ein nützliches Hilfsmittel für die Durchführung von Rechnungen.

Auch in der Mathematik ist es nicht möglich zu entscheiden, welche Periode die wahrhaft 'größte' Epoche genannt werden soll, da jede neue Generation auf dem Werk ihrer Vorfahren aufbaut. Die Gegenwart ist von einem beispiellosen Maß an mathematischen Forschungstätigkeit geprägt. Ich möchte nur die wichtigsten kurz aufzählen:

Daß Oberflächen, wie zum Beispiel der Fußboden, nicht nur mit drei-, vier- und sechseckigen Brettern regelmäßig belegt werden können, zeigen schon die berühmten Graphiken vom M.C.Escher. Der Physiker Roger Penrose entwickelte daraufhin die theoretischen Grundlagen, die das 'Parkettieren der Ebene' zu einem Zweig der mathematischen Wissenschaft machten. Mit 'Fractiles' kann man diese Theorie ohne viel Wissenschaft ohne viel Theorie selber ausprobieren.. Diese Elemente lassen sich zu sehr phantasiereichen Mustern zusammensetzen und ergeben die nötigen Ideen zur kommenden Renovierung der Küche oder des Badezimmers! Das gleiche gilt auch für den dreidimensionalen Raum!

Geheimcodes sind ein anderes sehr aktuelles Kapitel der Mathematik. Heute dreht sich alles um die 'rasche' Faktorisierung großer Zahlen und die rechnerische Schwierigkeiten, die sich dabei ergeben können. Eine der sichersten Formen der Verschlüsselung von Nachrichten macht sich nämlich gerade die Schwierigkeit zunutze, sehr große Zahlen in faktoren zu erlegen. Die Geschichte, wie sich ein scheinbar nutzoser und esoterischer Bereich der reinen Mathematik zur Grundlage unserer heutigen, modernen Sicherehitssysteme mauserte, ist eine der interessantesten mathematischen Entwicklungen unseres Jahrhunderts. Geheime Codes zu verwenden ist nicht neu. Schon Julius Cäsar verschüsselte während des Gallischen Krieges die Botschaften an seine Generäle. Heute gibt es wirtschaftliche und politische Gründe um Nachrichten so zu schützen, daß sie nicht in falsche Hände gelangen.

In einem typischen 'Verschlüsselungssystem' vereinbaren Absender und Empfänger im voraus einen gehiemen Schlüssel, den sie dann zur Übermittlung ihrer Nachrichten benutzen. Solang der Schlüssel geheim gehalten wird, sollte das System - vorausgesetzt es ist gut - sicher sein. Ein Beispiel dafür ist das amerikanische System 'Data Encryption Standard (DES)', dessen Schlüssel eine Zahl sein muß, die in der binären Schreibweise 56 Bits benötigt. Warum muß der Schlüssel so eine große Zahl sein? Nun, niemand macht ein Geheimnis daraus wie das DES-Verfahren funktioniert. Alle Einzelheiten lassen sich in der Fachliteratur nachlesen. Theoretisch könnte der Feind also unseren Code knacken, indem er nacheinander alle Schlüssel ausprobiert - doch dies ist eine so enorme Anzahl, daß es eine praktische undürchführbare Aufgabe ist. Obwohl diese DES-Systeme heute weit verbreitete sind, haben sie doch einen offensichtlichen Nachteil. Bevor sie benutzt werden können, müssen sich die Parntner über den Schlüssel verständigen. Da der Schlüssel sicher nicht über das öffentliche Kommunikationsnetz mitgeteilt werden soll, müssen sich die Partner treffen, oder zumindest über einen vertrausenswürdigen Kurier verfügen, der die Schlüssel übermittelt. Das System eigent sich nicht für die Kommunikation zwischen Partnern, die sich nicht persönlich kennen. Insebsondere eignet es sich nicht für den Einsatz im internationalen Bank- oder Wirtschaftswesen, da es in diesem Bereich oft notwendig ist, vertrauliche Nachrichtn an unbekannte Personen im fremden Ländern zu schicken. Abhilfe dazu schafft ein völlig neuartiges System der Kodierung - public key encryptography - im Jahre 1975 erstmals vorgestellt. Hier wird nicht nur ein Schlüssel verwendet sondern zwei - einer zu Kodieren, der öffentlich bekannt ist, und ein anderer zum Dekodieren, der geheim ist. Das Verfahren, das von Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman vom MIT entwickelt wurde ist heute als RSA-Verfahren bekannt. Die Sicherheit beruht also gerade auf der ineffizienz der heutigen Methoden der Faktorisierung sehr großer Zahlen. Heute werden oft 100-stellige Primzahlen zur Erzeugung eines 200-stelligen öffentlichen Schlüssels verwendet.

Wie lange ist die Küste Großbritanniens ?

Diese Frage war der Gegenstand eines epochemachenden Artikels, der 1967 unter gleichem Titel in der Zeitschrift Science erschien. Der Verfasser war Benoit Mandelbrot, ein brillianter fanzösischer Mathematiker, der für IBM in New York arbeitete. Auf dem ersten Blick scheint auch diese Frage durchaus harmlos zu sein. War würde erwarten, daß sich eine einigermaßen genaue Antwort mit Hilfe einer Straßenkarte oder durch Anfertigung von Lutaufnahmen ermitteln läßt. Doch weit gefehlt ! - Es gibt keine richtige Antwort !!! Diese aufsehenerrende Schlußfolgerung hatte Mandelbrot aufgrund folgender Argumentation: Angenommen wir vermessen die Küste mit einem Flugzeug aus ca 10 000m Höhe. Aus dieser Höhe läßt sich eine Vielzahl kleiner Buchten und Vorsprünge nicht erkennen. Wir machen die gleiche Messung aus einem kleinen Flugzeug aus 500m Höhe - und es werden viele zusätzliche Detais sichtbar. Stellen wir uns nun vor, wir machen uns zu Fuß auf den Weg um die Küste mit einer Genauigkeit von 1m abzumessen. Unregelmäßigkeiten, die aus der Luft nicht sichtbar sind, führen uns zu einem noch weitaus besseren Ergebnis als die beiden ersten Messungen. Doch nun wiederholen wir die Messung mit einer Genauigkeit von 1cm ...... Schnell ist man beim Maßstab eines Kieselsteines, eines Sandkornes, eines Moleküls, und das Meßergebnis wächst ins Unendliche !!!

Doch was hat diese Küstenlinie nun mit der Mathematik zu tun? Da sie im wahrsten Sinn des Wortes eine Kurve darstellt, könnte man meinen sie ist eindimensional. Dies stimmt jedoch nicht. Obwohl jede einzelne nach obigem System konstruierte Approximation der Küstenlinie eindimensional ist, gilt dies für die Grenzkuve nicht. Anläßlich der unendlich vielen wechselnden Richtungen der Kurve ist es auch nicht länger gerechtfertigt von 'Richtung' zu sprechen - wir haben damit die Welt unserer bekannten Mathematik verlassen. Der 'Dimensionsbegriff' muß angepaßt werden und durch ein Merkmal der Selbstähnlichkeit definiert werden. Für die Küstenlinie erhalten wir etwa D=1,2618. Gebilde die eine gebrochene Dimension aufweisen wurden 1977 von Mandelbrot als Fraktale bezeichnet und die Wissenschaft, die sich damit befaßt wird als fraktale Geometrie bezeichnet.

Knoten sind für den durchschnittlichen Pfadfinder sehr bald kein Problem - doch auch hier hat sich ein völlig neuer Zweig der Mathematik erst 1984 ergeben. Die Knotentheorie ist ein Unterbereich der Topologie. Es werden im dreidimensionalen Raum 'Knoten' mathematisch betrachten. Ein Knoten ist nicht anderes als eine geschlossene Schlinge, die mittels einer Schnur, eines Seils oder eines beliebigen anderen Materials gebildet wird. Wie entscheide ich also ob zwei Knoten wirklich verschieden sind? Wie entscheide ich überhaupt ob das Kabel des Rasenmähers nur verheddert ist - oder wirklich verknotet? Zauberkünstler machen von diesen beeindruckenden 'scheinbaren Knoten' ausgiebig Gebrauch. Am Anfang unseres Jahrhunderts wurden die Primknoten untersucht und sie wurden nach ihrer Kreuzungszahl klassifiziert. Da diese Kreuzungszahl eine Knoteninvariante ist, kann sie zur Untersuchung nichtäquivalenter Knoten herangezogen werden - doch leider können Knoten die nicht äquivalent sind die gleiche Kreuzungszahl haben. 1960 erzielte John Horton Conway eine neue und effektive Notation für Knoten. Doch bald stellt sich auch heraus, da jedem Knoten eine (unendliche) Knotengruppe zugeordnet werden kann. Angesichts der schweren mathematischen Geschütze die notwendig geworden sind, fragt sich der Leser, ob es denn nicht eine einfache Methode gibt Knoten zu unterscheiden. Die 1928 von J.W. Alexander gefunden wurden- Alexander-Knoten-Polynome - waren ein ersten Schritt, jene von 1984 erweiterte Knoten-Polynom-Darstellung half weiter, doch noch immer ist es nicht möglich mit Polynomen zwischen allen nicht äquivalenten Knoten zu unterscheiden.

Kurz möchte ich noch die Katastrophentheorie (=angewandet Theorie der Mannifaltigkeiten) erwähen. Die meisten Topologen würden diese Theorie der Mannigfaltigkeiten als die zentrale Triebkraft ihrer Disziplin betrachten. Obwohl die Topologie ein überaus leicht zu beschreiben ist, ist es ein schwieriges Teilgebiet der Mathematik. Intuitiv kann man sich die topologische Abbildung als eine stetige Deformation vorstellen, bei der das Objekt gebogen, gedehnt, zusammendegrückt oder verdreht wird oder aber eine Kombination solcher Verformungen. Man geht davon aus, daß das deformierte Objekt vollständig elastisch ist und beliebig viele solcher Verformungen unbschadet überstehen. Die obige Beschreibung mit Dehnen, Biegen und Drücken muß unvollständig sein, da die Topologie sich auch mit drei-, vier- und fünfdimensionalen Objekten beschäftigt. Viel Verwirrung verursacht auch hier der Begriff der Dimension. Die Oberfläche einer Kugel ist eine zweidimensionale Fläche - sie läßt sich allerdings nur in einem dreidimensionalen Raum darstellen.

Doch was wurde noch Anfang dieses Jahrhunderts über die Mathematik gesagt? G.H. Hardy schrieb 1940

... die Stukturen des Mathematikers müssen wie jene des Malers oder des Dichters schön sein; die Gedanken müssen sich wie die Farben oder die Worte harmonisch zusammenfügen. Schönheit ist der erste Prüfstein; eine häßliche Mathematik kann in der Welt nicht bestehen. Es mag sehr schwierig sein, mathematische Schönheit zu definieren, doch trifft dies für Schönheit jeder Art zu - wir wissen vielleicht nicht genau was wir unter einem schönen Gedicht verstehen, doch hindert uns dies nicht, es als solches zu erkennen, wenn wir es lesen.

Dr. Richard Mischak

Richard E. Borcherds wird für seine Leistungen auf den Gebieten der Algebra und Geometrie ausgezeichnet, vor allem aber für seinen Beweis der sogenannten Moonshine-Vermutung. Diese Vermutung wurde Ende der 70er Jahre von den britischen Mathematikern John Conway und Simon Norton formuliert und stellt zwei mathematische Strukturen in einen so unerwarteten Zusammenhang, daß ihr die Experten den Namen "Moonshine" (Mondlicht) gaben: Ihr Gefühl war, daß sie die Mathematik dahinter in einem nur schwachen Licht erahnten. Borcherds konnte 1989 die Vermutung beweisen und hat - um im Bild zu bleiben - das Licht angeknipst.

Die Mondschein-Vermutung setzt die sogenannte "Monstergruppe" mit elliptischen Funktionen in Zusammenhang. Diese Funktionen dienen als Konstruktionsvorschriften für Gitterstrukturen in der Ebene und können beispielsweise in der Chemie nützlich sein, um Molekülstrukturen zu beschreiben. Die Monstergruppe hingegen schien bislang nur innerhalb der reinen Mathematik eine Bedeutung zu haben. Gruppen sind mathematische Objekte, mit denen sich Strukturen mit Symmetrien beschreiben lassen; technisch gesehen sind sie eine Menge von Objekten, für die bestimmte Rechenregeln gelten (zum Beispiel sind die ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe). Ein berühmter Satz der Algebra sagt aus, daß alle Gruppen - seien sie noch so groß und kompliziert - aus den gleichen Bausteinen bestehen; so wie sich die materielle Welt aus Atomen zusammensetzt. Die "Monstergruppe" ist nun die größte der "sporadischen, endlichen, einfachen" Gruppen - und eines der bizarrsten Objekte der Algebra. Sie hat mehr Elemente als es Elementarteilchen im Universum gibt (ca. 8*10⁵³). Daher der Name "Monster".

Borcherds benutzt in seinem Beweis viele Ideen der String-Theorie - ein überraschender Weg, die Theoretische Physik für die Mathematik nutzbar zu machen. Strings - auch wenn die Theorie unter Physikern als spekulativ gilt - wurden bei der Suche nach der "Weltformel" erfunden, um verschiedene physikalische Theorien zu vereinheitlichen. Strings kann man sich als Fäden oder Schlaufen vorstellen, die um ein vielfaches kleiner als Elektronen sind.

Maxim Kontsevich hat sich in der Reinen Mathematik sowie in der Theoretischen Physik durch einflußreiche Ideen und tiefliegende Einsichten einen Namen gemacht. Arbeiten der Physiker Richard Feynman sowie Edward Witten haben ihn beeinflußt. Kontsevich ist Experte in der sogenannten String-Theorie und der Quantenfeldtheorie. Bekannt geworden ist er durch Arbeiten zu vier Problemen aus der Geometrie.

So gelang es ihm, eine Vermutung von Witten zu beweisen und die mathematische Äquivalenz zweier Modelle der sogenannten Quantengravitation aufzuzeigen. Quantengravitation ist ein Zwischenschritt auf dem Weg zur "Weltformel". Sie harmonisiert die physikalischen Theorien des Makrokosmos (Massenanziehung) und des Mikrokosmos (Kräfte unter Elementarteilchen).

Ein anderes Resultat von Kontsevich betrifft die Knotentheorie. Mathematiker verstehen unter Knoten das gleiche wie normale Menschen: Verzwirbelte Schnüre wie Segelknoten und Schnürsenkel (mit dem Unterschied, daß in der Mathematik die losen Enden der Senkel stets verbunden sind). Die Zahl der Knoten ist unübersehbar. Eine zentrale Frage der Knotentheorie ist nun: Welche der vielen Knoten sind "äquivalent", mit anderen Worten: Welche Knoten können allein durch Drehungen und Verbiegungen ineinander überführt werden, ohne daß man eine Schere zur Hilfe nimmt? Die Frage ist noch unbeantwortet, obwohl sie bereits Anfang des Jahrhunderts aufkam. Man weiß noch nicht einmal, welche Knoten sich "auflösen" lassen, also in eine einfache Schlinge ohne Knoten überführt werden können. Die Mathematiker suchen nach einer Klassifizierung aller Knoten: Jedem Knoten soll eine Zahl oder Funktion zugeordnet werden; äquivalente Knoten erhalten dabei die gleiche Zahl; Knoten, die sich nicht ineinander durch Verbiegungen überführen lassen, müssen verschiedene Nummern bekommen. Eine solche Charakterisierung der Knoten ist noch nicht geschafft. Kontsevich hat die bislang beste "Knoteninvariante", wie diese Funktionen heißen, gefunden. Zwar gehört die Knotentheorie zur reinen Mathematik, doch scheint es Anwendungen in den Naturwissenschaften zu geben. So tauchen Knotenstrukturen in der Kosmologie, der Statistischen Mechanik und der Genetik auf.

William Timothy Gowers hat wesentliche Beiträge in der Funktionalanalysis geliefert und dabei reichen Gebrauch von Methoden aus der Kombinatorik gemacht. Diese zwei Gebiete haben nur wenig miteinander zu tun, und ein großes Verdienst von Gowers ist es, sie fruchtbar verbunden zu haben. Funktionalanalysis und Kombinatorik haben gemeinsam, daß viele der Probleme aus diesen Gebieten leicht zu formulieren, aber äußerst schwer zu lösen sind.

Gowers hat durch ausgefeilte mathematische Konstruktionen einige Vermutungen des berühmten polnischen Mathematikers Stefan Banach (1892 - 1945) beweisen können, darunter das sogenannte "Problem der unbedingten Basen". Banach galt als Exzentriker, der lieber im Café als in seinem Büro an der Universität Lemberg (Lwów) arbeitete. In den 20er und 30er Jahren entstand im "Schottischen Café" eine Kladde, die Probleme der Funktionalanalysis umfaßte. Sie wurde später als das "Schottische Buch" bekannt. Gowers hat wesentliche Beiträge vor allem zur Theorie der Banachräume geliefert. Banachräume sind Mengen, deren Elemente nicht Zahlen sind, sondern kompliziertere mathematische Objekte wie Funktionen, Maße oder Operatoren. Mit ihnen läßt sich in Banachräumen aber ähnlich wie mit Zahlen rechnen.

Anwendung finden diese Objekte zum Beispiel in der Quantenphysik. Eine zentrale Frage unter Mathematikern und Physikern ist, welche inneren Strukturen diese Räume aufweisen, beispielsweise, wieviele Symmetrien sie enthalten (ob sie also unter Drehungen und Spiegelungen selbstähnlich bleiben). Gowers gelang es, einen Banachraum zu konstruieren, der fast keine Symmetrien besitzt. Diese Konstruktion dient seither als raffiniertes Gegenbeispiel für viele Vermutungen aus der Funktionalanalysis, darunter das Hyperebenen-Problem und das Schröder-Bernstein-Problem für Banachräume. Durch Gowers' Vorarbeit ließ sich eines der berühmtesten Probleme der Funktionalanalysis, das sogenannte "Problem der homogenen Räume" lösen. Vor einem Jahr machte Gowers in der Kombinatorik auf sich aufmerksam, als er zu einem Theorem des Mathematikers Emre Szemerédi einen neuen Beweis lieferte, der kürzer und eleganter als die ursprüngliche Argumentation war. Eine solche Leistung setzt ein äußerst tiefes mathematisches Verständnis voraus.

Curtis T. McMullen wird vor allem für seine Arbeiten auf den Gebieten der Geometrie und der "Komplexen Dynamik" ausgezeichnet, einem Zweig der Theorie der Dynamischen Systeme, die umgangssprachlich oft "Chaostheorie" genannt wird. McMullen hat in zahlreichen mathematischen Gebieten und ihren Grenzbereichen gewirkt.

Ein wichtiges Resultat konnte McMullen bereits in seiner Doktorarbeit lösen. Es ist die Frage, wie man aus einer beliebigen Gleichung alle Lösungen berechnen kann. Für einfache Gleichungen kann man sie durch Umformungen ermitteln. Bei den meisten Gleichungen aber muß man sich mit Näherungslösungen begnügen. Ein bekanntes Näherungsverfahren ist das "Newton-Verfahren", das - in einfacher Form bereits in der Antike bekannt war. Für sogenannte polynomiale Gleichungen zweiten Grades liefert es ohne wesentliche Ausnahmen sehr gute Ergebnisse. Eine zentrale Frage war daher, ob es ähnliche Verfahren - die man bloß noch nicht gefunden hatte - auch für Gleichungen höheren Grades gibt. Curtis T. McMullens Ergebnis: Für Gleichungen mit einem Grad größer als drei kann es definitiv keinen solchen universellen Algorithmus geben; nur für Teilbereiche ist ein Verfahren möglich. Für Gleichungen vom Grad drei entwickelte er ein "neues" Newton-Verfahren und konnte damit die Frage nach Näherungslösungen vollständig lösen.

Ein weiteres Resultat von McMullen betrifft die Mandelbrotmenge (unter dem Namen "Apfelmännchen" bekannt). Diese Menge beschreibt dynamische Systeme, mit denen komplizierte Naturphänomene wie Wetter oder Strömungen in Flüssigkeiten modelliert werden. Man interessiert sich dafür, wo das System auseinanderdriftet und welche Punkte sich auf ein Gleichgewichtszentrum zubewegen. Die Trennungslinie zwischen diesen beiden Extremen ist die sogenannte Julia-Menge, benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia, der Anfang des Jahrhunderts die Theorie der dynamischen Systeme begründete. Die Mandelbrotmenge zeigt nun, für welche Parameter die Julia-Menge "zusammenhängend" ist, also eine mathematisch schöne Eigenschaft besitzt. Doch diese Beschreibung ist noch sehr grob; eine bessere Charakterisierung der Grenzmenge ist Mathematikern noch nicht gelungen. Curtis T. McMullen machte aber einen großen Schritt in diese Richtung, als er zeigte, daß man aus der Mandelbrotmenge zum Teil auch herauslesen kann, welche zugehörigen dynamischen Systeme "hyperbolisch", und damit detaillierter zu beschreiben sind. Für diese Systeme steht eine weit entwickelte Theorie bereit. Bereits in den 60er Jahren wurde McMullens Ergebnis vermutet, doch niemand vor ihm konnte diese genauere Charakterisierung der Julia-Menge beweisen.

World Mathematical Year 2000

• the determination of great mathematical challenges of the 21st century,
• the promulgation of mathematics, both pure and applied, as one of the main keys for development, and
• the recognition of the systematic presence of mathematics in the information society (=the image of mathematics).